Теорема о свертке

Для ученого, занимающегося магнитным резонансом, наболее важной теоремой касающейся преобразовании Фурье является теорема свертки. Теорема свертки гласит о том, что преобразование Фурье над двумя свернутыми функциями пропорционально результатам преобразований Фурье над каждой функцией в отдельности, и наоборот.

Если ОД) = И( ОД ) и 1ОД) = ИХ 1ОД ),

тогда ОД) g(©) = И( g(t) © ОД ) и ОД) 0 е(ю) = И( g(t) ОД )

Станет понятнее, если посмотреть на представленные рисунки. В окошке для анимации мы попытаемся провести преобразование Фурье над синусоидой, которая то включается, то выключается.

По теореме о свертке получается функция sinc с частотой исходной синусоиды.

Другим применением теоремы о свертке является подавление шума. При помощи теоремы о свертке можно увидеть, что свертывание ЯМР-спектра с функцией Лоренца есть то же, что умножение временной компоненты сигнала на экпоненциально-затухающую функцию.