При работе с томографическими изображениями координаты реперных точек, как правило, определяются с ошибкой, которая приводит к ошибке при определении параметров группового преобразования и, как следствие, к ошибке коррекции координат всех точек изображения. Зависимость ошибки коррекции пространственных искажений точек изображения (Дг) от величины ошибки определения координат реперов (Д/) носит прямо пропорциональный характер, причем коэффициент пропорциональности зависит от вида группового преобразования.

Необходимо отметить, что в случае одинаковой величины Дг для всех реперов при аффинном преобразовании все точки изображения имеют одинаковую ошибку коррекции Д/, а при проективном - величина ошибки зависит от положения точки на плоскости. На практике Дг, как правило, отличаются для каждого репера, но характер прямо пропорциональной зависимости между Дг и Д/ для точек плоскости сохраняется.

Методы коррекции пространственных искажений изображений, основанные на вычислении параметров обратного преобразования по координатам реперных точек, позволяют скомпенсировать искажения, описываемые полной аффинной и проективной группами. Избыточность реперных точек позволяет значительно повысить точность вычисления параметров преобразования.

Для описания методики коррекции пространственных искажений воспользуемся МР-изображениями фантома, представляющего собой шесть жесткоскрепленных шприцев, заполненных водой [59].

Выберем на изображениях реперные точки (центры элементов фантома) и относительно них найдем параметры группового преобразования (рис. 67). Вычисленные параметры применим к центральным точкам элементов фантома и проверим, соответствует ли преобразованное изображение эталонному снимку. Погрешность определения координат точек Д = ±0,6 мм.

Рис. 67. Эталонное (а) и искаженное (б) изображения фантома

При вычислении параметров аффинного преобразования в качестве реперных были выбраны точки Т, и, V эталонного изображения и соответствующие им точки Т', и', V' искаженного изображения (рис. 68). В этом случае рассчитанные параметры аффинного преобразования будут следующими: а1 = 1.035,

Рис. 68. Выбор реперных точек для аффинного преобразования

Если в качестве реперных выбрать точки М, К, О для эталонного изображения и точки М', К', О' - для искаженного (рис. 69), то параметры аффинной группы будут другими: а1 = 1.157, а2 =-0.025, а3 = 0, а4 = 1.179, Ь1 =-15.46, Ь2 =-32.071 (рис. 70,6).

Рис. 69. Эталонное и искаженное изображения фантома

Рис. 70. Положение точек фантома после аффинного преобразования в зависимости от места выбора реперных точек (—♦— эталонное изображение, —■— искаженное изображение, —▲— преобразованное изображение)

Аналогичные вычисления были проведены для проективного преобразования. Выбор четырех реперных точек в соответствии с рис. 68 позволил определить следующие параметры проективной группы:    а1 = 1.68,

а2 = 0.463,    а3 =    0.04, а.    = 2.118, а5    = 0.0008, а6    = 0.003, Ь, = -88.947,

2    3    4    5    6    1

Ь2 = -89.384 (рис. 72,а). При выборе в качестве реперных точек Q, R, S, Т для эталонного изображения и точек Q', R', S', Т' - для искаженного (рис. 71), параметры проективного преобразования были следующими: а1 = 0.481,

а2 = 2.484 х 10-7,    а3    =-0.142,    а.    = 0.76, а5    =-0.002, а6 = 1.188 х 10 ~9,

2    3    4    5    6

Ь1 = 27.433, Ь2 = 3.582 (рис. 72,б).

Рис. 71. Выбор реперных точек для проективного преобразования

Рис. 72. Положение точек фантома после проективного преобразования в зависимости от места выбора реперных точек (—♦— эталонное изображение, —■-- искаженное изображение, —▲— преобразованное изображение)

Преобразование плоскости импримитивной группой №19 задается системой уравнений (77). Предположим, что точки Т, и, V эталонного изображения соответствуют точкам Т', и', V' искаженного изображения (рис. 68). Выберем эти точки в качестве реперных и относительно них найдем параметры группового импримитивного преобразования №19: а1 =-3.278 х 10 ~3, а2 = 1.859, а3 = 1.523, а4 = 0.413, Ь1 =-54.871, Ь2 =-66.298. Рис. 73 иллюстрирует положение центров элементов фантома на плоскости для эталонного, искаженного и преобразованного изображений.

Различие преобразованного и эталонного изображений обусловлено, во-первых, тем, что координаты реперных точек найдены с ошибкой из-за невозможности их однозначного определения на произвольном изображении; во-вторых, на результаты оказывает влияние ошибка размывания искаженного изображения.

Рис. 73. Положение точек фантома на плоскости после преобразования импри-митивной группой №19 (—♦— эталонное изображение, —■— искаженное изображение, —▲— преобразованное изображение)

Наилучшие результаты были получены после преобразования изображения импримитивной группой №19, так как соответствующие четыре точки (A, D, E, F) на двух изображениях совместились. Несовпадение двух точек (B, C) обусловлено сильным размыванием искаженного изображения. Поэтому наиболее достоверные данные могут быть получены при комбинации различных групповых преобразований для разных элементов изображения.