Разные томографические изображения одного и того же объекта могут существенно отличаться друг от друга. Причинами этих отличий являются искажения, обусловленные техническими погрешностями системы получения данных, яркостные искажения, пространственные искажения, связанные с изменением взаимного положения в пространстве исследуемого объекта. В силу того что пространственные искажения изображений меняются плавно, их можно описать некоторыми непрерывными групповыми преобразованиями [65]. В работе [65] показано, что группы Ли являются эффективным математическим аппаратом при решении задач обработки изображений исследуемых объектов, полученных с помощью МРТ, ПЭТ и КТ.

Анализ групп преобразований и возможных изменений их параметров позволяет выделить следующие подходы к решению задачи коррекции пространственных искажений: разложение полной группы преобразования на подгруппы и их последовательная компенсация; нахождение параметров полной группы преобразований по координатам характерных (реперных) точек на изображении объекта. Проблема выбора реперных точек является актуальной, потому как общий способ их определения на произвольных изображениях неизвестен. Зная эти точки, можно не только преобразовывать и совмещать изображения, полученные в процессе сканирования, но и совмещать изображения, полученные различными томографическими методами.

Аффинное преобразование плоскости задается системой линейных уравнений

где х,у,~,~ - исходные и преобразованные аффинной группой координаты точки изображения, а1,., а4, Ь1, Ь2 - параметры аффинной группы. При преобразовании аффинной группой сохраняется параллельность прямых. Если значения параметров а1,...,а412 элемента g аффинной группы G (g е G) известны, то восстановление изображения не вызывает проблем. Достаточно применить аффинное преобразование X' = g * X последовательно ко всем точкам Х(х,у) восстанавливаемого изображения.

Если известны координаты трех точек на двух изображениях, то из сравнения их координат на искаженном изображении с координатами соот-

Основной особенностью импримитивных групп является то, что одна координата меняется по линейному закону, а вторая - по нелинейному. Из 20 импримитивных групп Ли на плоскости наибольшее распространение для целей описания искажений в силу своей универсальности получили группы №13 и №19 по классификации Ли-Файна [65]: импримитивная группа № 13:

Кроме основных групп, на плоскости могут действовать группы, сопряженные с перечисленными [65]. В таблицу 6 сведены параметры различных групп пространственных преобразований.

Таблица 6

Ограничения на параметры групп пространственных преобразований